골드버그 다면체(Goldberg Polyhedron)

골드버그 다면체는 미카엘 골드버그(1902-1990)가 1937년에 발표한 이론이다. 수학적으로 오각형(Hexagon)과 육각형(Pentagon)으로 만들어진 볼록한 다면체를 말한다. [1]

골드버그 다면체는 3가지 특성을 갖는다.

1. 각 면은 오각형(Hexagon) 또는 육각형(Pentagon)이어야 한다.

2. 3면이 각 꼭짓점에 만나야 하고, 회전 정사면체 대칭을 갖는다.

3. 반드시 거울대칭이 아니어야 한다.

GP(5, 3)과 GP(3, 5)는 서로 거울대칭이다. 그리고 오일러의 다면체 공식은 정확하게 12개의 오각형으로 구성된다. GP(m, n)은 다면체를 평면에 펴놓고 오각형에서 다음 오각형으로 이동하는 유클리드 거리를 계산해서 작성하는 방식이다.

2014년에 골드버드 다면체의 이론을 바탕으로 볼록대칭 다면체 이론이 제시되었다.[2]

GP(m, n)이란? Goldberg Polyhedron의 약자로 한 오각형에서 다음 오각형까지 이동하는 거리로 해석된다. 우선 한 오각형에서 한 방향으로 m 만큼 이동한다. 그리고 왼쪽으로 60 º방향을 전환하여 n만큼 이동하면 다음 오각형이 나온다. 이것을 표현하면 GP(m, n)이 된다. 12면체(Dodecahedron)는 GP(1,0)이고 잘린 20면체(Icosahedron)는 (1,1)이다.

골드버그 다면체는 다면을 구성하는 면이 평면이 아니어서 엄격하게 말하면 다면체로 인정받지 못하고 있는 상황이다. 이런 상황에서 2014년 발표된 미국 캘리포니아대학 Stan Schein박사는 눈의 망막을 연구하는 과정에서 clathrin(클라트린)이라고 불리는 단백질 구조에 관심을 갖고 이 입체 구조를 수학적으로 분석했다. 골드버그 다면체를 활용하게 되었다.[2]

 

 

Stan Schein 박사는 다면체 구조의 전제조건인 “면은 평면”이라는 요건을 완화해 완전평면이 아닌 상태에서 새롭게 대칭과 준다면체 조건을 만족하는 새로운 대칭 다면체 구조를 찾았다. 

(A) 파란색 모서리에 대한 2 면체 각도 A는 끝 각도 α와 측면 각도 β 및 γ에 의해 결정된다. (B) 파란색 모서리와 인접한면이 평면 인 경우, 파란색 모서리의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝에서 바라본 두면의 각이 동일해야한다. (c) 골드버그 다면체에서 정사면체(T=3)는 모서리를 깍아 생긴 20면과 60개의 꼭지점으로 구성된다. 오각형은 하얀색 육각형은 회색으로 처리했다. 파란색 선의 가장자리 양쪽 끝은 138.2º의 각도로 대칭되는 면으로 566 타입(오각형(5). 육각형(6), 육각형(6))으로 구성된다. (d) 정육면체(T=4)의 경우 오각형의 뾰쪽한 모서리가 566에서 666유형의 꼭지점을 연결한다. 규칙적인 오각형과 6각형을 가정한다면, 파란색 모서리의 왼편에 있는 566형 A의 오각형은108º, 육각형은 120º의 내부 각도로 인해 대칭각은 138.2º가 되지만 666형 D는 180º가 된다. 180º와 138.2º의 차이는 41.8º로 인해 이면불일치 즉 비대칭의 형태가 되면서 가장자리에 인접한 비평면(삐뚤어진) 육각형을 생성한다. 그렇게 오른쪽에 생성된 삐뚤어진 육각형의 각도는 E이고, 왼쪽 각도는 I가 되면서 비대칭 각도(DAD: dihedral angle discrepancy)는 19º가 된다. [2] 인용

 

일부에서는 샤인 박사가 발견한 다면체는 400년만에 발견된 새로운 다면체로 본다. 또한 이 방식은 수학적으로 해석하기 어려운 다양한 바이러스의 형태를 유추 하는데 활용 할 수 있을 것으로 보고 있다. 그러나 기존의 다면체의 면은 평면이어야 한다는 공식을 어디까지 완화해 주느냐가 관건이 될 것 같다.

골드버그 다면체를 공간정보에 적용해 본다면 어떨까? 지구는 둥글고 지면에서  멀어질 수록 면이 볼록해지는 구조이기 때문에 잘 어울리지 않을까?

다음으로 2017년 OGC에서 Discrete Global Grid System에 대하여 알아보자

 

참고사이트 및 문헌

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Goldberg_polyhedron

Goldberg polyhedron - Wikipedia

[2] Stan Schein, James Maurice Gayed, 2014, Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America

Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses